为什么保存之后找不到ppt了呢(保存的ppt找不到)
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2022-05-29
一 . 机器数和真值
在学习原码 , 反码和补码之前 , 需要先了解机器数和真值的概念 .
1 、机器数
一个数在计算机中的二进制表示形式 , 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号 , 正数为 0, 负数为 1.
比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为 8 位,转换成二进制就是 00000011 。如果是 -3 ,就是 10000011 。
那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2 、真值
因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011 ,其最高位 1 代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值 131 ( 10000011 转换成十进制等于 131 )。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
例: 0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1 , 1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1
二 . 原码 , 反码 , 补码的基础概念和计算方法 .
在探求为何机器要使用补码之前 , 让我们先了解原码 , 反码和补码的概念 . 对于一个数 , 计算机要使用一定的编码方式进行存储 . 原码 , 反码 , 补码是机器存储一个具体数字的编码方式 .
1. 原码
原码就是符号位加上真值的绝对值 , 即用第一位表示符号 , 其余位表示值 . 比如如果是 8 位二进制 :
[+1] 原 = 0000 0001
[-1] 原 = 1000 0001
第一位是符号位 . 因为第一位是符号位 , 所以 8 位二进制数的取值范围就是 :
[1111 1111 , 0111 1111]
即
[-127 , 127]
原码是人脑最容易理解和计算的表示方式 .
2. 反码
反码的表示方法是 :
正数的反码是其本身
负数的反码是在其原码的基础上 , 符号位不变,其余各个位取反 .
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反
可见如果一个反码表示的是负数 , 人脑无法直观的看出来它的数值 . 通常要将其转换成原码再计算 .
3. 补码
补码的表示方法是 :
正数的补码就是其本身
负数的补码是在其原码的基础上 , 符号位不变 , 其余各位取反 , 最后 +1. ( 即在反码的基础上 +1)
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补
对于负数 , 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的 . 通常也需要转换成原码在计算其数值 .
三 . 为何要使用原码 , 反码和补码
在开始深入学习前 , 我的学习建议是先 " 死记硬背 " 上面的原码 , 反码和补码的表示方式以及计算方法 .
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数 . 对于正数因为三种编码方式的结果都相同 :
[+1] = [00000001] 原 = [00000001] 反 = [00000001] 补
所以不需要过多解释 . 但是对于负数 :
[-1] = [10000001] 原 = [11111110] 反 = [11111111] 补
可见原码 , 反码和补码是完全不同的 . 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式 , 为何还会有反码和补码呢 ?
首先 , 因为人脑可以知道第一位是符号位 , 在计算的时候我们会根据符号位 , 选择对真值区域的加减 . ( 真值的概念在本文最开头 ). 但是对于计算机 , 加减乘数已经是最基础的运算 , 要设计的尽量简单 . 计算机辨别 " 符号位 " 显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂 ! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法 . 我们知道 , 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数 , 即 : 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法 , 这样计算机运算的设计就更简单了 .
于是人们开始探索 将符号位参与运算 , 并且只保留加法的方法 . 首先来看原码 :
计算十进制的表达式 : 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001] 原 + [10000001] 原 = [10000010] 原 = -2
如果用原码表示 , 让符号位也参与计算 , 显然对于减法来说 , 结果是不正确的 . 这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数 .
为了解决原码做减法的问题 , 出现了反码 :
计算十进制的表达式 : 1-1=0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原 = [0000 0001] 反 + [1111 1110] 反 = [1111 1111] 反 = [1000 0000] 原 = -0
发现用反码计算减法 , 结果的真值部分是正确的 . 而唯一的问题其实就出现在 "0" 这个特殊的数值上 . 虽然人们理解上 +0 和 -0 是一样的 , 但是 0 带符号是没有任何意义的 . 而且会有 [0000 0000] 原 和 [1000 0000] 原 两个编码表示 0.
于是补码的出现 , 解决了 0 的符号以及两个编码的问题 :
1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001] 原 + [1000 0001] 原 = [0000 0001] 补 + [1111 1111] 补 = [0000 0000] 补 =[0000 0000] 原
这样 0 用 [0000 0000] 表示 , 而以前出现问题的 -0 则不存在了 . 而且可以用 [1000 0000] 表示 -128:
(-1) + (-127) = [1000 0001] 原 + [1111 1111] 原 = [1111 1111] 补 + [1000 0001] 补 = [1000 0000] 补
-1-127 的结果应该是 -128, 在用补码运算的结果中 , [1000 0000] 补 就是 -128. 但是注意因为实际上是使用以前的 -0 的补码来表示 -128, 所以 -128 并没有原码和反码表示 .( 对 -128 的补码表示 [1000 0000] 补算出来的原码是 [0000 0000] 原 , 这是不正确的 )
使用补码 , 不仅仅修复了 0 的符号以及存在两个编码的问题 , 而且还能够多表示一个最低数 . 这就是为什么 8 位二进制 , 使用原码或反码表示的范围为 [-127, +127], 而使用补码表示的范围为 [-128, 127].
因为机器使用补码 , 所以对于编程中常用到的 32 位 int 类型 , 可以表示范围是 : [-2 31 , 2 31 -1] 因为第一位表示的是符号位 . 而使用补码表示时又可以多保存一个最小值 .
四 原码 , 反码 , 补码 再深入
计算机巧妙地把符号位参与运算 , 并且将减法变成了加法 , 背后蕴含了怎样的数学原理呢 ?
将钟表想象成是一个 1 位的 12 进制数 . 如果当前时间是 6 点 , 我希望将时间设置成 4 点 , 需要怎么做呢 ? 我们可以 :
1. 往回拨 2 个小时 : 6 - 2 = 4
2. 往前拨 10 个小时 : (6 + 10) mod 12 = 4
3. 往前拨 10+12=22 个小时 : (6+22) mod 12 =4
2,3 方法中的 mod 是指取模操作 , 16 mod 12 =4 即用 16 除以 12 后的余数是 4.
所以钟表往回拨 ( 减法 ) 的结果可以用往前拨 ( 加法 ) 替代 !
现在的焦点就落在了如何用一个正数 , 来替代一个负数 . 上面的例子我们能感觉出来一些端倪 , 发现一些规律 . 但是数学是严谨的 . 不能靠感觉 .
首先介绍一个数学中相关的概念 : 同余
同余的概念
两个整数 a , b ,若它们除以整数 m 所得的余数相等,则称 a , b 对于模 m 同余
记作 a ≡ b (mod m)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明 :
4 mod 12 = 4
16 mod 12 = 4
28 mod 12 = 4
所以 4, 16, 28 关于模 12 同余 .
负数取模
正数进行 mod 运算是很简单的 . 但是负数呢 ?
下面是关于 mod 运算的数学定义 :
上面是截图 , " 取下界 " 符号找不到如何输入 (word 中粘贴过来后乱码 ). 下面是使用 "L" 和 "J" 替换上图的 " 取下界 " 符号 :
x mod y = x - y L x / y J
上面公式的意思是 :
x mod y 等于 x 减去 y 乘上 x 与 y 的商的下界 .
以 -3 mod 2 举例 :
-3 mod 2
= -3 - 2xL -3/2 J
= -3 - 2xL-1.5J
= -3 - 2x(-2)
= -3 + 4 = 1
所以 :
(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7
开始证明
再回到时钟的问题上 :
回拨 2 小时 = 前拨 10 小时
回拨 4 小时 = 前拨 8 小时
回拨 5 小时 = 前拨 7 小时
注意 , 这里发现的规律 !
结合上面学到的同余的概念 . 实际上 :
(-2) mod 12 = 10
10 mod 12 = 10
-2 与 10 是同余的 .
(-4) mod 12 = 8
8 mod 12 = 8
-4 与 8 是同余的 .
距离成功越来越近了 . 要实现用正数替代负数 , 只需要运用同余数的两个定理 :
反身性 :
a ≡ a (mod m)
这个定理是很显而易见的 .
线性运算定理 :
如果 a ≡ b (mod m) , c ≡ d (mod m) 那么 :
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)a * c ≡ b * d (mod m)
如果想看这个定理的证明 , 请看 : http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以 :
7 ≡ 7 (mod 12)
(-2) ≡ 10 (mod 12)
7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)
现在我们为一个负数 , 找到了它的正数同余数 . 但是并不是 7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等 .
接下来回到二进制的问题上 , 看一下 : 2-1=1 的问题 .
2-1=2+(-1) = [0000 0010] 原 + [1000 0001] 原 = [0000 0010] 反 + [1111 1110] 反
先到这一步 , -1 的反码表示是 1111 1110. 如果这里将 [1111 1110] 认为是原码 , 则 [1111 1110] 原 = -126, 这里将符号位除去 , 即认为是 126.
发现有如下规律 :
(-1) mod 127 = 126
126 mod 127 = 126
即 :
(-1) ≡ 126 (mod 127)
2-1 ≡ 2+126 (mod 127)
2-1 与 2+126 的余数结果是相同的 ! 而这个余数 , 正式我们的期望的计算结果 : 2-1=1
所以说一个数的反码 , 实际上是这个数对于一个膜的同余数 . 而这个膜并不是我们的二进制 , 而是所能表示的最大值 ! 这就和钟表一样 , 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值 !
而 2+126 很显然相当于钟表转过了一轮 , 而因为符号位是参与计算的 , 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果 .
既然反码可以将减法变成加法 , 那么现在计算机使用的补码呢 ? 为什么在反码的基础上加 1, 还能得到正确的结果 ?
2-1=2+(-1) = [0000 0010] 原 + [1000 0001] 原 = [0000 0010] 补 + [1111 1111] 补
如果把 [1111 1111] 当成原码 , 去除符号位 , 则 :
[0111 1111] 原 = 127
其实 , 在反码的基础上 +1, 只是相当于增加了膜的值 :
(-1) mod 128 = 127
127 mod 128 = 127
2-1 ≡ 2+127 (mod 128)
此时 , 表盘相当于每 128 个刻度转一轮 . 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是 [-128, 128].
但是由于 0 的特殊情况 , 没有办法表示 128, 所以补码的取值范围是 [-128, 127]
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