一文搞清二进制补码 丨【奔跑吧！JAVA】

引言

点进这个文章说明你对补码的概念也有不清楚的地方，嘻嘻，那就继续看下去吧。

很多同学在学习二进制的时候对于补码的理解不是很清楚，并且也不知道为什么补码是原码先取反然后再加一，这里就来说说我自己的理解，希望能帮到你。

二进制

我们知道计算机内部使用二进制用来表示，准确来说，计算机内部只有二进制，只有0和1，再也没有别的数字了。0和1分别对应低电平和高电平，在磁盘中则代表S极和N极，也可以理解为正 和 反，总之0和1是不一样的两种状态，凡是界限分明的两种状态都可以用来表示0和1。

二进制数包括有符号数和无符号数，这里我们讨论有符号数（因为无符号数也不牵扯补码的问题）。我们知道一个byte占用一个字节，也就是8个bit，在一般的编程课程中一般都会告诉我们，1byte所能表示的数字是2^8= 256个，又因为有符号数中第一位是符号位，第一位是0则代表正数，为1则代表负数，全为0则代表0，所以byte所能表示的范围是-128~127。这里比较精明的同学就会有疑问了，为什么是-128~127而不是-127~128？这将在下面讲解，请继续往下看。

补码的由来

要了解为什么使用补码，那么我们就要知道如果不使用补码会遇到什么样的问题，举个例子大家就明白了，为了方便阅读，我们采用8个bit进行演示，多个字节的情况类似。

比如00000000（8个0）表示0，00000001表示1，01111111表示127，那么按照常规的想法，10000001应该表示-1，10000000应该是-0（也就是0），11111111应该是-127。如下表：

在计算机中也要遵循传统的数学定理，比如1-1 = 1+(-1) = 0，然而按照刚才的设想，00000001+10000001 = 10000010 = -2 ≠ 0，这违反基本的数学规律，这在一个科学的、自洽的计算机系统中是不允许存在的，这是存在的第一个问题；

第二个问题是，+0和-0占据了两个位置，这样就无法表示256个数了，只能表示255个。

那么我们需要怎么解决这个违反数学规律的问题呢？我们当然难以解决，幸好已经有伟大的计算机科学家找到了完美的解决方案，那就是补码。补码的规则是源码按位取反得到反码，然后再加1，就得到补码。补码与原码互为对称关系，即补码是原码的补码，原码也是补码的补码，这句话有点绕口，多读几遍就理解了。同理，原码与反码也是对称关系，反码是源码的反码，源码是反码的反码。

我们再举例子，00000001（1）取反得到11111110，再加1得到11111111，然后将00000001 + 11111111 = 00000000 = 0！！！   所以11111111即为-1

00000010（2）取反得到11111101，再加1得到11111110，然后将00000010 + 11111110 = 00000000 = 0！！！   所以11111110即为-2

01111111（127）取反得到10000000，再加1得到10000001，然后将 01111111 + 10000001 = 00000000 = 0！！！   所以10000001即为-127

。。。以此类推就可以得到-1~-127所对应的二进制编码，并且满足负数的首位（符号位）是1。

最后还剩一下一个10000000和00000000,00000000对应0，那么只剩下一个-128和10000000对应，那么为什么把10000000分配给-128而不是+128？这是因为10000000 + 00000001（1） = 10000001 = -127 ，所以10000000就等于-127 - 1 = -128。至此为止，8bit的所对应的所有的256个二进制数均与十进制数对应完毕，且完全满足数学规律，这就是我们想要得到的。

关键结论

从上面的例子不难看出，满足数学规律的情况下，

补码所代表的就是原码的相反数，补码所代表的就是原码的相反数，补码所代表的就是原码的相反数！！！

重要的事情说三遍。

可逆性验证

进行补码的逆运算： 11111111（-1） 减1得到  11111110，然后按位取反得到 00000001 （1）

进行补码运算：11111111 （-1）取反得到 00000000，再加1得到 00000001（1）

这里表明了两种运算的方式，都可以得到-1 的相反数 1，两种运算都可以，是等价的，这也就是取补码的两种方式，也就是得到相反数的方式。这里只是举个例子，其他情况下也是符合的，请大家自行验证。

这里只是举8个bit位来说明问题，int表示4个字节，long表示8个字节的情况大家可以自行脑补。

常见数值的换算对比表

下表列出常用的几个数的二进制与十进制的对应关系：

结语

结尾了，还有一个疑问没有解决，为什么是这么复杂的计算公式，先取反再加1来得到补码？

这是因为取反之后的反码与原码相加会得到11111111（8个1），再加1，就会得到00000000（8个0，也就是0，限定8位，多余的一位会被计算机丢弃），两个数相加为0，这就是相反数的特质，所以依靠这种方式能得到和为0，也就能得到相反数。这样计算之后得到的结果有完美的的可逆性与逻辑性，也满足了数学规律并且没有重复分配，如此精妙绝伦，完美结合了数学特征和计算机的特质，真的佩服老一代计算机科学技术的睿智与深邃的智慧。

为什么这些计算机科学家可以这么有智慧，设计出这么完美的公式，而我等只能瞻仰学习他们的成果？我想这是厚积薄发的结果，有了深厚的知识底蕴，才能遇到事情想到最佳的解决方案，完美解决问题。而我们需要做的，就是不断提高知识水平，夯实底蕴，在不断的磨砺锻炼中提高自己，同时对于细节要多练习达到熟能生巧，保持兴趣与竞争力，等待厚积薄发的机会到来，一举成名世人知。谢谢大家！

本文有点啰嗦，这也是为了照顾零基础小白，如果能帮到你，这将是我莫大的荣幸。如果有问题可以评论加私信来和我讨论，我看到的话会及时回复。本人也是初来乍到，希望能得到各位大佬的指点。谢谢！

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