分治（详解残缺棋盘 —— Java代码实现）

分治

总体思想

将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题

对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k为子问题，如此递归进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止

将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来的问题的解

使用条件

该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质

利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解

该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

能否利用分治法完全取决于子问题是否具有这条特征，如果具备了前两条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划

基本步骤

divide-and-conquer(P) { if (|P| <= n0) abhoc(P); // 解决小规模的问题 divide P into smaller subinstances P1, P2 ,... ,Pk // 分解问题 for (i = 1; i <= k; i++) { yi = divide-and-conquer(Pi); // 递归的解各子问题 return merge(y1, ... ,yk) // 将各子问题的解合并为原问题的解 } }

案例

覆盖残缺棋盘

在一个2k×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。

用 (n2) / 3个三重格放置在 n × n 的缺陷棋盘上，正好能够覆盖所有方格

具体步骤：

划分为四个小棋盘

其中一个是 4 × 4 缺陷棋盘

在其他三个 4 × 4 棋盘都都相邻的拐角上放一个三格板，使它们也成为缺陷棋盘

递归地覆盖四个4×4缺陷棋盘

在其它三个 4 × 4 棋盘都相邻的拐角上放一个三格板，使它们也成为缺陷棋盘。

Java代码实现

package Chess; public class Chess { // 表示棋盘 private int[][] board; // 表示棋盘的大小为2的多少次方 private int boardSize; // 棋盘中特殊方格的位置（行号，列号） private int dr, dc; private int tile = 1; public Chess() { board = new int[1][1]; dr = 0; dc = 0; boardSize = 0; } public Chess(int r, int c, int s) { int n; n = (int) Math.pow(2, s); if (n <= r || n <= c) System.out.println("初始化参数错误！"); else { board = new int[n][n]; dr = r; dc = c; boardSize = s; } } public void Print() { for (int i = 0; i < Math.pow(2, this.boardSize); i++) { for (int j = 0; j < Math.pow(2, this.boardSize); j++) { System.out.printf("%3d|", this.board[i][j]); } System.out.println(); } } public static void main(String[] args) { // 2^2*2^2棋盘, 假设特殊方格位置为（3, 3） Chess c1 = new Chess(3, 3, 2); c1.chessBoard(0, 0, c1.dr, c1.dc, (int)Math.pow(2, c1.boardSize)); c1.Print(); } /** * @param tr：棋盘左上角方格的行号 * @param tc：棋盘左上角方格的列号 * @param dr：特殊方格所在的行号 * @param dc：特殊棋盘所在的列号 * @param size：2^k, 棋盘的规格为 2^k*2^k **/ public void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) { if (size == 1) return; // t: L型骨牌号，s分割棋盘 int t = tile++; int s = size / 2; // 覆盖左上角棋盘 if (dr < tr + s && dc < tc + s) { // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc, dr, dc, s); } else { // 此棋盘中无特殊方格则用t号L型骨牌覆盖右下角 board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t; // 覆盖其余方格 chessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s); } // 覆盖右上角子棋盘 if (dr < tr + s && dc >= tc + s) { // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s); } else { // 无特殊方格，用t号骨牌覆盖左下角 board[tr + s - 1][tc + s] = t; chessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s); } // 覆盖左下角棋盘 if (dr >= tr + s && dc < tc + s) { chessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s); } else { // 无特殊方格，用t号骨牌覆盖右上角 board[tr + s][tc + s - 1] = t; chessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s); } // 覆盖右下角棋盘 if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) { // 特殊方格在此棋盘中 chessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s); } else { // 无特殊方格，用t号骨牌覆盖左上角 board[tr + s][tc + s] = t; chessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s); } } }

2| 2| 3| 3| 2| 1| 1| 3| 4| 1| 5| 5| 4| 4| 5| 0|

大整数的乘法

小学的方法：效率太低 O(n2)

分治法：

X = A × 2n/2 + B

Y = C × 2n/2 + D

XY = (A × 2n/2 + B)(C × 2n/2 + D)

=AC × 2n + (AD + CB) × 2n/2 + BD

实质上没有改进

再次进行改进：

XY = AC × 2n + (AD + CB) × 2n/2 + BD

=AC × 2n + ((A - B)(D - C) + AC + BD) × 2n/2 + BD

这样只需进行3次 n/2 位乘法

T(n) = O(nlog3) = O(n1.59) （有了较大的改进）

如果将大整数分成更多段，用更复杂的方式把它们组合起来，将有可能得到更优的算法

Strassen矩阵乘法

易知，时间复杂度为 O(n3)

分治法：

将矩阵A、B和C中每一矩阵都分成4个大小相等的子矩阵，则 C = AB 可写为：

由此可得：

实际复杂度还是没有变，仍然为 O(n3)

为了降低时间复杂度，要减少乘法的次数

这样，复杂度得到了改进

数据结构

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