GAMES101 学习3——矩阵变换

参考文档：

https://www.yuque.com/sugelameiyoudi-jadcc/okgm7e/9242e00d224c583a93ce5ac6e49246fe

为什么需要Transformation

描述摄像机的运动

描述图像的缩放变化

用于将3D视图投影到2D图像上

一、2D Transformation

Linear（线性） Transforms = Matrices

其中，线性变换包括以下4种：

1.1 Scale（缩放）

1.2 Reflection（反射）

1.3. Shear（切变）

1.4 Rotate（旋转）

默认都是按照远点逆时针旋转

1.5 总结：线性变换=矩阵

二、Homogeneous coordinates（齐次坐标）

为什么要引入齐次坐标

平移变换 ：它不是线性变换，不能写成 一个x’ = M x 的形式，

我们不希望把平移当做一种特殊的情况去考虑

引入齐次坐标：可以把线性变换和平移（二者合起来就是仿射变换），用同一种形式去表示。

2.1 平移变换不是线性变换

⟶

\longrightarrow

⟶引入齐次坐标

2.1.1 齐次坐标

可以把二维的点，增加一个维度，写成以下第一行形式

对于二维向量，写成以下第二行形式

对于二维的点，增加了一个“1”的维度，就有了一个非常好的性质

在它前边乘以这样一个矩阵（图中红框圈出），得到的结果，可以表示平移变换。

这样一来，我们的目的就达到了：用同一种形式表示线性变换和平移变换。

对于增加维度“1”“0”的解释

为什么向量是“0”

首先回顾向量的概念：表示的是一个方向，也就是说，它有这样的性质：平移不变性。这就是为什么向量增加的维度是“0”的原因，这样一来，向量做任何平移变换操作时，就可以保证符合平移不变性。

更深层次的理解

增加维度的“0”和“1”是有意义的

向量＋向量 = 向量 对应：0 + 0 = 0

点 - 点 = 向量 对应：1 - 1 = 0

点 + 向量 = 点 对应：1 + 0 = 1

点 + 点 = ？？ 本来一个点加一个点是没有意义的，但是人们扩充了它的定义：点+点表示的就是这两个点的中点。也就是2.1.2 中说的

2.1.2 在齐次坐标下的2维点

对于任何w（w≠0），

(

x

y

w

)

\begin{pmatrix}x\\y\\w\\ \end{pmatrix}

⎝

⎛ xyw ⎠

⎞ 表示的就是二维点

(

x

/

w

y

/

w

1

)

\begin{pmatrix}x/w\\y/w\\1\\ \end{pmatrix}

⎝

⎛ x/wy/w1 ⎠

⎞

2.2 Affine Transformation（仿射变换）

仿射变换=线性变换+平移

顺序：先线性变换后平移（3D仿射同样）

2.3 齐次坐标下的2D Transformations

2.4 逆变换

逆变换就是乘以变换矩阵的逆矩阵

三、Composite Transformation（组合变换）

3.1 复杂的变换都是由简单的组合而来

3.2 变换的顺序很重要

矩阵的“左乘”

一般都是选旋转后平移

3.3 矩阵乘法无交换律

eg.一个不在原点的做旋转：先变换到原点→旋转→转换回原来位置

3.4 解耦复杂变换

注意矩阵的运算顺序是从右到左

四、3D Transformation

4.1 齐次坐标下的3维向量和点

4.2 齐次坐标下的3D Affine Transformation

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