为了搞懂 HTTPS，我把大学的数学书拿了出来。。。

HTTPS 常用的密钥交换算法有两种，分别是 RSA 和 ECDHE 算法。

其中，RSA 是比较传统的密钥交换算法，它不具备前向安全的性质，因此现在很少服务器使用的。而 ECDHE 算法具有前向安全，所以被广泛使用。

我在上一篇已经介绍了 RSA 握手的过程，今天这一篇就「从理论再到实战抓包」介绍 ECDHE 算法。

离散对数

ECDHE 密钥协商算法是 DH 算法演进过来的，所以我们先从 DH 算法说起。

DH 算法是非对称加密算法， 因此它可以用于密钥交换，该算法的核心数学思想是离散对数。

是不是听到这个数学概念就怂了？不怕，这次不会说离散对数推到的过程，只简单提一下它的数学公式。

离散对数是「离散 + 对数」的两个数学概念的组合，所以我们先来复习一遍对数。

要说起对数，必然要说指数，因为它们是互为反函数，指数就是幂运算，对数是指数的逆运算。

举个栗子，如果以 2 作为底数，那么指数和对数运算公式，如下图所示：

那么对于底数为 2 的时候， 32 的对数是 5，64 的对数是 6，计算过程如下：

对数运算的取值是可以连续的，而离散对数的取值是不能连续的，因此也以「离散」得名，

离散对数是在对数运算的基础上加了「模运算」，也就说取余数，对应编程语言的操作符是「%」，也可以用 mod 表示。离散对数的概念如下图：

上图的，底数 a 和模数 p 是离散对数的公共参数，也就说是公开的，b 是真数，i 是对数。知道了对数，就可以用上面的公式计算出真数。但反过来，知道真数却很难推算出对数。

特别是当模数 p 是一个很大的质数，即使知道底数 a 和真数 b ，在现有的计算机的计算水平是几乎无法算出离散对数的，这就是 DH 算法的数学基础。

DH 算法

认识了离散对数，我们来看看 DH 算法是如何密钥交换的。

现假设小红和小明约定使用 DH 算法来交换密钥，那么基于离散对数，小红和小明需要先确定模数和底数作为算法的参数，这两个参数是公开的，用 P 和 G 来代称。

然后小红和小明各自生成一个随机整数作为私钥，双方的私钥要各自严格保管，不能泄漏，小红的私钥用 a 代称，小明的私钥用 b 代称。

现在小红和小明双方都有了 P 和 G 以及各自的私钥，于是就可以计算出公钥：

小红的公钥记作 A，A = G ^ a ( mod P )；

小明的公钥记作 B，B = G ^ b ( mod P )；

A 和 B 也是公开的，因为根据离散对数的原理，从真数（A 和 B）反向计算对数 a 和 b 是非常困难的，至少在现有计算机的计算能力是无法破解的，如果量子计算机出来了，那就有可能被破解，当然如果量子计算机真的出来了，那么密钥协商算法就要做大的升级了。

双方交换各自 DH 公钥后，小红手上共有 5 个数：P、G、a、A、B，小明手上也同样共有 5 个数：P、G、b、B、A。

然后小红执行运算： B ^ a ( mod P )，其结果为 K，因为离散对数的幂运算有交换律，所以小明执行运算： A ^ b ( mod P )，得到的结果也是 K。

这个 K 就是小红和小明之间用的对称加密密钥，可以作为会话密钥使用。

可以看到，整个密钥协商过程中，小红和小明公开了 4 个信息：P、G、A、B，其中 P、G 是算法的参数，A 和 B 是公钥，而 a、b 是双方各自保管的私钥，黑客无法获取这 2 个私钥，因此黑客只能从公开的 P、G、A、B 入手，计算出离散对数（私钥）。

前面也多次强调， 根据离散对数的原理，如果 P 是一个大数，在现有的计算机的计算能力是很难破解出 私钥 a、b 的，破解不出私钥，也就无法计算出会话密钥，因此 DH 密钥交换是安全的。

DHE 算法

根据私钥生成的方式，DH 算法分为两种实现：

static DH 算法，这个是已经被废弃了；

DHE 算法，现在常用的；

static DH 算法里有一方的私钥是静态的，也就说每次密钥协商的时候有一方的私钥都是一样的，一般是服务器方固定，即 a 不变，客户端的私钥则是随机生成的。

于是，DH 交换密钥时就只有客户端的公钥是变化，而服务端公钥是不变的，那么随着时间延长，黑客就会截获海量的密钥协商过程的数据，因为密钥协商的过程有些数据是公开的，黑客就可以依据这些数据暴力破解出服务器的私钥，然后就可以计算出会话密钥了，于是之前截获的加密数据会被破解，所以 static DH 算法不具备前向安全性。

既然固定一方的私钥有被破解的风险，那么干脆就让双方的私钥在每次密钥交换通信时，都是随机生成的、临时的，这个方式也就是 DHE 算法，E 全称是 ephemeral（临时性的）。

所以，即使有个牛逼的黑客破解了某一次通信过程的私钥，其他通信过程的私钥仍然是安全的，因为每个通信过程的私钥都是没有任何关系的，都是独立的，这样就保证了「前向安全」。

ECDHE 算法

DHE 算法由于计算性能不佳，因为需要做大量的乘法，为了提升 DHE 算法的性能，所以就出现了现在广泛用于密钥交换算法 —— ECDHE 算法。

ECDHE 算法是在 DHE 算法的基础上利用了 ECC 椭圆曲线特性，可以用更少的计算量计算出公钥，以及最终的会话密钥。

小红和小明使用 ECDHE 密钥交换算法的过程：

双方事先确定好使用哪种椭圆曲线，和曲线上的基点 G，这两个参数都是公开的；

双方各自随机生成一个随机数作为私钥d，并与基点 G相乘得到公钥Q（Q = dG），此时小红的公私钥为 Q1 和 d1，小明的公私钥为 Q2 和 d2；

双方交换各自的公钥，最后小红计算点（x1，y1） = d1Q2，小明计算点（x2，y2） = d2Q1，由于椭圆曲线上是可以满足乘法交换和结合律，所以 d1Q2 = d1d2G = d2d1G = d2Q1 ，因此双方的 x 坐标是一样的，所以它是共享密钥，也就是会话密钥。

这个过程中，双方的私钥都是随机、临时生成的，都是不公开的，即使根据公开的信息（椭圆曲线、公钥、基点 G）也是很难计算出椭圆曲线上的离散对数（私钥）。

ECDHE 握手过程

知道了 ECDHE 算法基本原理后，我们就结合实际的情况来看看。

我用 Wireshark 工具抓了用 ECDHE 密钥协商算法的 TSL 握手过程，可以看到是四次握手：

细心的小伙伴应该发现了，使用了 ECDHE，在 TLS 第四次握手前，客户端就已经发送了加密的 HTTP 数据，而对于 RSA 握手过程，必须要完成 TLS 四次握手，才能传输应用数据。

所以，ECDHE 相比 RSA 握手过程省去了一个消息往返的时间，这个有点「抢跑」的意思，它被称为是「TLS False Start」，跟「TCP Fast Open」有点像，都是在还没连接完全建立前，就发送了应用数据，这样便提高了传输的效率。

接下来，分析每一个 ECDHE 握手过程。

客户端首先会发一个「Client Hello」消息，消息里面有客户端使用的 TLS 版本号、支持的密码套件列表，以及生成的随机数（Client Random）。

服务端收到客户端的「打招呼」，同样也要回礼，会返回「Server Hello」消息，消息面有服务器确认的 TLS 版本号，也给出了一个随机数（Server Random），然后从客户端的密码套件列表选择了一个合适的密码套件。

不过，这次选择的密码套件就和 RSA 不一样了，我们来分析一下这次的密码套件的意思。

「 TLS_ECDHE_RSA_WITH_AES_256_GCM_SHA384」

密钥协商算法使用 ECDHE；

签名算法使用 RSA；

握手后的通信使用 AES 对称算法，密钥长度 256 位，分组模式是 GCM；

摘要算法使用 SHA384；

接着，服务端为了证明自己的身份，发送「Certificate」消息，会把证书也发给客户端。

这一步就和 RSA 握手过程有很大到区别了，因为服务端选择了 ECDHE 密钥协商算法，所以会在发送完证书后，发送「Server Key Exchange」消息。

这个过程服务器做了三件事：

选择了名为 named_curve 的椭圆曲线，选好了椭圆曲线相当于椭圆曲线基点 G 也定好了，这些都会公开给客户端；

生成随机数作为服务端椭圆曲线的私钥，保留到本地；

根据基点 G 和私钥计算出服务端的椭圆曲线公钥，这个会公开给客户端。

为了保证这个椭圆曲线的公钥不被第三方篡改，服务端会用 RSA 签名算法给服务端的椭圆曲线公钥做个签名。

随后，就是「Server Hello Done」消息，服务端跟客户端表明：“这些就是我提供的信息，打招呼完毕”。

至此，TLS 两次握手就已经完成了，目前客户端和服务端通过明文共享了这几个信息：Client Random、Server Random 、使用的椭圆曲线、椭圆曲线基点 G、服务端椭圆曲线的公钥，这几个信息很重要，是后续生成会话密钥的材料。

客户端收到了服务端的证书后，自然要校验证书是否合法，如果证书合法，那么服务端到身份就是没问题的。校验证书到过程，会走证书链逐级验证，确认证书的真实性，再用证书的公钥验证签名，这样就能确认服务端的身份了，确认无误后，就可以继续往下走。

客户端会生成一个随机数作为客户端椭圆曲线的私钥，然后再根据服务端前面给的信息，生成客户端的椭圆曲线公钥，然后用「Client Key Exchange」消息发给服务端。

至此，双方都有对方的椭圆曲线公钥、自己的椭圆曲线私钥、椭圆曲线基点 G。于是，双方都就计算出点（x，y），其中 x 坐标值双方都是一样的，前面说 ECDHE 算法时候，说 x 是会话密钥，但实际应用中，x 还不是最终的会话密钥。

还记得 TLS 握手阶段，客户端和服务端都会生成了一个随机数传递给对方吗？

最终的会话密钥，就是用「客户端随机数 + 服务端随机数 + x（ECDHE 算法算出的共享密钥） 」三个材料生成的。

之所以这么麻烦，是因为 TLS 设计者不信任客户端或服务器「伪随机数」的可靠性，为了保证真正的完全随机，把三个不可靠的随机数混合起来，那么「随机」的程度就非常高了，足够让黑客计算出最终的会话密钥，安全性更高。

算好会话密钥后，客户端会发一个「Change Cipher Spec」消息，告诉服务端后续改用对称算法加密通信。

接着，客户端会发「Encrypted Handshake Message」消息，把之前发送的数据做一个摘要，再用对称密钥加密一下，让服务端做个验证，验证下本次生成的对称密钥是否可以正常使用。

最后，服务端也会有一个同样的操作，发「Change Cipher Spec」和「Encrypted Handshake Message」消息，如果双方都验证加密和解密没问题，那么握手正式完成。于是，就可以正常收发加密的 HTTP 请求和响应了。

总结

RSA 和 ECDHE 握手过程的区别：

RSA 密钥协商算法「不支持」前向保密，ECDHE 密钥协商算法「支持」前向保密；

使用了 RSA 密钥协商算法，TLS 完成四次握手后，才能进行应用数据传输，而对于 ECDHE 算法，客户端可以不用等服务端的最后一次 TLS 握手，就可以提前发出加密的 HTTP 数据，节省了一个消息的往返时间；

使用 ECDHE， 在 TLS 第 2 次握手中，会出现服务器端发出的「Server Key Exchange」消息，而 RSA 握手过程没有该消息；

https://zh.wikipedia.org/wiki/橢圓曲線迪菲-赫爾曼金鑰交換

https://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆曲线

https://zh.wikipedia.org/wiki/迪菲-赫爾曼密鑰交換

https://time.geekbang.org/column/article/148188

https://zhuanlan.zhihu.com/p/106967180

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