《Spark机器学习进阶实战》——3.2.2　朴素贝叶斯模型

3.2.2　朴素贝叶斯模型

朴素贝叶斯模型（Naive Bayes）是基于贝叶斯定理的分类方法，它有严格而完备的数学推导，容易实现，且训练和预测的过程均很高效。朴素贝叶斯基于特征条件独立性假设（条件独立假设是指每个特征对分类结果独立产生影响，该假设可以简化条件概率分布的计算），基于这个假设，属于某个类别的概率表示为若干个概率乘积的函数，其中这些概率包括某个特征在给定某个类别的条件下出现的概率（条件概率），以及该类别的概率（先验概率），这样使得模型训练非常直接且易于处理。类别的先验概率和特征的条件概率可以通过数据的频率估计得到。分类过程就是在给定特征和类别概率的情况下，选择最可能的类别。

另外，还有一个关于特征分布的假设，即参数的估计来自数据，MLlib实现了多项朴素贝叶斯，其中假设特征分布是多项分布，用以表示特征的非负频率统计。

在朴素贝叶斯算法中，学习过程即为通过训练数据集估计先验概率P(Y=ck)和条件概率P(Xj= xj |Y=ck)。一般使用极大似然估计法去估计这些概率分布。

针对先验概率，其估计方法为：

式中，I(yi=ck)为指示函数，其值取决于yi和ck是否相等，如果两者相等，则I(yi=ck)为1，否则为0。N为训练集中的样本总数。显然，类别ck的先验概率是类别为ck的样本占训练数据集的比例。

设第j个特征xj所有取值构成的集合是{aj1, aj2,…, ajSj)}，其中aj1代表第j个特征对应的第l个取值，Sj为第j个特征所有取值的个数。针对条件概率，其估计方法为：

式中，xji指第i个样本的第j个特征。

预测过程中，对于测试集中的样本，根据已学习到的模型求出后验概率P(Y= ci |X=x)即可，如下式所示：

根据条件独立假设，上式可以转化为：

然后选择后验概率最大对应的类别作为样本的类标签。根据后验概率最大的原则，可以得到：

对于不同的ck，上式中的分母是相同的，所以上式可以简写为：

MLlib支持多项贝叶斯和伯努利贝叶斯，这些模型的一个典型应用就是文档分类。在文档分类中，每个样本就是一篇文档，每个特征就是一个单词。多项贝叶斯中特征的值是单词的频数，而伯努利贝叶斯中特征的值是单词是否出现（0/1）。特征取值必须是非负值。模型类型由参数modelType确定，取值为multinomial或者bernoulli，缺省是multinomial。

在计算过程中如果特征的取值和某个类别没有同时出现过，则在计算条件概率时会出现概率为0的情况，此时其他特征的信息将会在连乘中消除。解决这个问题的方法就是使用加法平滑。具体来说，条件概率的平滑方法是：

式中，λ≥0。上式等价于在随机变量各个取值的频数上加上一个整数λ。同样对先验概率的平滑方法是：

在MLlib中可以通过参数λ来设置加法平滑，该参数默认为1。

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